ECUACIONES DE LA ELIPSE CUYO CENTRO NO ESTA EN EL ORIGEN.DEFINICION:
ECUACIONES DE LA ELIPSE CUYO CENTRO NO ESTA EN EL ORIGEN
Es el lugar geométrico formado por el conjunto de puntos cuando el centro de la elipse se encuentra fuera del origen en un punto al que por convención se le asignan las coordenadas (h,k) y si además su eje focal es paralelo al eje X
INFORMACION:
ELIPSE CON CENTRO (h,k) FUERA DEL ORIGEN
Ecuación de la elipse horizontal de centro (h,k) y sus ejes paralelas a las coordenadas.
La ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:
Se observa que:
x = x' + h
x' = x - h
y = y' + k
y' = y – k
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x).
Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Vertical con centro C(h , k), es:
La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.
El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:
Mientras que las ecuaciones de las directrices son:
Cuando la elipse es horizontal.
Cuando la elipse es vertical.
Eje Mayor = 2a
Eje Menor = 2b
Ejercicios:
El foco 1 esta en (0,5) la suma de la distancia de los focos a un punto cualquiera de la elipse es ugual a 14 unidades.
R_:
F1 y F2 = focos de la elipse
Centro= (F1 + F2)/2 = (0 + 0,5 -5)/2 =(0,0)
La suma de la distancia de los focos a un punto cualquiera de la elipse= longitud del eje mayor
Semieje de la elipse es a = 14/2 = 7 a ^2 = 49
c= distancia del foco al centro de la elipse, entonces : c= 5
a^2 = b^2 + c^2
b^2= 24
Ec de la elipse:
x^2 + y^2
E : 25+ 24
Un arco de 80 mts de luz tiene forma semieliptica. Sabiendo que su altura máxima es de 30 mts hallar la altitud del arco en un punto situado a 15 mts del centro.
a= 80/2 = 40 a^2 = 1 600
semieje menor, b= 30 m b^2 = 900
Ec. De la elipse:
x^2 + y^2
1600+900
BIBLIOGRAFIA:
Geometría Analítica
Charles H. Lehmann
Editorial Limusa, México, 1998
Fundamentos de Geometría Analítica
Vázquez Sánchez Agustín
Editorial thomson, México, 2002
Geometría Analítica
Guerra Tejada Manuel
Editorial Mcgraw-Hill, México, 2004
