ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN

ECUACIONES DE LA ELIPSE CUYO CENTRO NO ESTA EN EL ORIGEN.

DEFINICION:
ECUACIONES DE LA ELIPSE CUYO CENTRO NO ESTA EN EL ORIGEN
Es el lugar geométrico formado por el conjunto de puntos cuando el centro de la elipse se encuentra fuera del origen en un punto al que por convención se le asignan las coordenadas (h,k) y si además su eje focal es paralelo al eje X


INFORMACION:
ELIPSE CON CENTRO (h,k) FUERA DEL ORIGEN

Ecuación de la elipse horizontal de centro (h,k) y sus ejes paralelas a las coordenadas.











La ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen es , si la referimos al sistema X'-Y' se tiene:
Se observa que:

x = x' + h
x' = x - h

y = y' + k
y' = y – k
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, tenemos la Ecuación de la Elipse Horizontal con centro C(h , k) y su eje mayor o focal paralelo al eje de las abscisas (eje x).






Análogamente si el eje mayor o focal es paralelo al eje de las ordenadas (eje y), la Ecuación de la Elipse Vertical con centro C(h , k), es:
La excentricidad es menor a la unidad y queda definida por la relación de la mitad de la distancia focal al semieje mayor.
El Lado recto es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por uno de los focos y su longitud la calculamos por:
Mientras que las ecuaciones de las directrices son:
Cuando la elipse es horizontal.
Cuando la elipse es vertical.
Eje Mayor = 2a
Eje Menor = 2b





Ejercicios:
El foco 1 esta en (0,5) la suma de la distancia de los focos a un punto cualquiera de la elipse es ugual a 14 unidades.
R_:
F1 y F2 = focos de la elipse
Centro= (F1 + F2)/2 = (0 + 0,5 -5)/2 =(0,0)
La suma de la distancia de los focos a un punto cualquiera de la elipse= longitud del eje mayor
Semieje de la elipse es a = 14/2 = 7 a ^2 = 49
c= distancia del foco al centro de la elipse, entonces : c= 5
a^2 = b^2 + c^2
b^2= 24
Ec de la elipse:
x^2 + y^2
E : 25+ 24
Un arco de 80 mts de luz tiene forma semieliptica. Sabiendo que su altura máxima es de 30 mts hallar la altitud del arco en un punto situado a 15 mts del centro.
a= 80/2 = 40 a^2 = 1 600
semieje menor, b= 30 m b^2 = 900
Ec. De la elipse:
x^2 + y^2
1600+900



BIBLIOGRAFIA:
Geometría Analítica
Charles H. Lehmann
Editorial Limusa, México, 1998

Fundamentos de Geometría Analítica
Vázquez Sánchez Agustín
Editorial thomson, México, 2002

Geometría Analítica
Guerra Tejada Manuel
Editorial Mcgraw-Hill, México, 2004

Ejercicio 8. (27)

Ejercicio 7. (25)

Ejercicio 6. (21)

Ejercicio 5. (19)

Ejercicio 4. (17)

Ejercicio 3. (5)

Ejercio 2. (3)

Ejercicio 1.(1)

Ejercicios de Excentricidad

Elipse: Definición

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 Y F2, llamados focos, es una constante.

La línea que une los dos focos se llama eje mayor (que equivale a 2a) y la mediatriz de los mismos eje menor (que equivale a 2b), la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de “semieje” (de tal manera que se los denomina “semiejemayor” y “semiejemenor” respectivamente).

Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.

Para encontrar la ecuación de una elipse, el origen de coordenadas se coloca a la mitad, entre los focos y un eje coordenado sobre la recta que pasa por los focos. La distancia entre los focos se representa con 2c, y en consecuencia, los focos de denominan F´(-c,0) y F (c,0). Ahora si se hace que la suma de distancias de un punto P (x,y) de la elipse a los focos, sea 2a, se obtiene:

PF´ + PF = 2a

Al trasponer el segundo radical, elevar al cuadrado y simplificar se obtiene:

Al elevar de nuevo al cuadrado y simplificar se encuentra que:

Si se hace bˆ2 = aˆ2 - cˆ2 y se divide entre la cantidad distinta de cero aˆ2bˆ2, se obtiene la forma final:

Ejercicios de Excentricidad

EXCENTRIDAD DE LA ELIPSE

La forma de una elipse depende del valor de la excentricidad, y esta se define. Como la distancia que hay entre el centro de la elipse a uno de sus focos.
También se le conoce como el numero que mide el mayor o menor ancho de la elipse, y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.
Para encontrar la excentricidad entre dos focos o dos vértices de la elipse se define la siguiente fórmula:

e= c/a

que se representa con que e(excentricidad) c (centro entre los dos focos) a (valor del semi eje meyor)
http://www.ditutor.com/geometria_analitica/elipses.html

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

DEFINICION:

Una elipse con centro en el origen, como su nombre lo dice, parate desde el centro y sus ejes de simetría son los ejes de las ordenadas y las abscisas. Tiene la misma distancia en cada eje (X y Y) y los semiejes son la mitad de la distancia del eje completo.

ECUACIONES:

El semiejemayor mide 2a

El semiejemenor mide 2b

x^2/(a)^2+y^2/(b)^2 =1..............Elipse Horizontal

x^2/(b)^2+y^2/(a)^2= 1..............Elipse Vertical